SEGITIGA

BAB 6

SEGITIGA

A. Kompetensi dan Indikator
A.1 Kompetensi
1. Memahami jenis-jenis segitiga
2. Memahami teorema Pythagoras
3. Memahami garis-garis istimewa pada segitiga
4. Memahmai pertidaksamaan segitiga
A.2 Indikator Pencapaian Kompetensi
1. Menjelaskan jenis-jenis segitiga
2. Menjelaskan teorema pythagoras
3. Menjelaskan garis-garis istimewa pada segitiga
4. Memahami pertidaksamaan segitiga

B. Materi Pokok dan Uraian Materi
Materi Pokok
Segitiga

Sub Materi Pokok
1. Penggolongan segitiga
2. Teorema Pythagoras
3. Segitiga-Segitiga Istimewa
4. Teorema Pada Segitiga
5. Pertidaksamaan Segitiga

Uraian Materi
5.1 Penggolongan Segitiga
Berdasarkan panjang sisi, segitiga dibagi menjadi tiga kelompok :
1. Segitiga Sama Sisi adalah segitiga yang mempunyai tiga sisi yang kongruen.
2. Segitiga Sama Kaki adalah segitiga yang mempunyai dua sisi yang kongruen.
3. Segitiga Sembarang adalah segitiga yang tidak mempunyai sisi yang kongruen.
Berdasarkan besar sudut, segitiga dibagi menjadi empat kelompok :
1. Segitiga Lancip yaitu segitiga yang memiliki tiga sudut yang lancip (besar sudut < 900). 2. Segitiga Siku-siku yaitu segitiga yang mempunyai sebuah sudut siku-siku ( besar sudut = 900) 3. Segitiga Tumpul yaitu segitiga yang mempunyai sebuah sudut tumpul ( besar sudut > 900).
4. Segitiga Sama Sudut adalah segitiga yang mempunyai tiga sudut yang kongruen.

5.2 Segitiga Sama Kaki
Segitiga sama kaki adalah segitiga yang mempunyai dua sisi yang kongruen.
Segitiga sama kaki dapat berupa segitiga siku-siku, segitiga tumpul maupun segitiga lancip.
Metode pembuktian segitiga sama kaki
Diketahui : Segitiga ABC sama kaki dengan .
Buktikan : .
Bukti : Titik D merupakan titik tengah pada . Gambarlah dan buktikan bahwa .

Pernyataan Alasan
1. Segitiga ABC sama kaki dengan .
2. D adaalah titik tengah dari .

3. Segitiga ABD .

4.
1. Diketahui
2. Setiap ruas garis memiliki satu dan hanya satu titik tengah.
3. Sebuah ruas dari sudut puncak ke titik tengah pada sisi yang berlawanan membentuk sepasang segitiga yang konngruen.
4. CPCTC

Teorema
Jika sebuah segitiga adalah sama kaki, maka sudut dasarnya ialah kongruen.

5.3 Besar sudut – sudut pada segitiga
Diketahui : Sebuah segitiga ABC
Buktikan : besar A + besar B + besar C = 180°
Rencana : Gambarlah sebuah garis L melalui A sejajar pada BC dan menggunakan teorema yang menghubungkan garis sejajar dan melintang. ( garis L adalah sebuah garis bantu. )

Pernyataan Alasan
1. Tunjukkan L menjadi sebuah garis melalui A sejajar garis BC.
2. 1 B, 2 C
3. Besar 1 + besar A + besar 2 = 180°
4. Besar B + besar A + besar C = 180°
1. Tergambar
2. Jika dua garis sejajar, maka sudut – sudut dalam adalah kongruen
3. Definisi di antara ruas garis dan Teorema Sepasang Garis Lurus
4. Sifat Substitusi

1. Sudut – sudut pada segitiga sama sisi, masing – masing mempunyai besar 60°.

Besar A = Besar B = Besar C
Besar A + Besar B + Besar C = 180°
Jadi setiap besar sudut segitiga samasisi mempunyai besar 60°.

2. Besar satu sudut luar berpelurus dari sebuah segitiga sama dengan jumlah besar dua sudut dalam segitiga yang tidak berhimpitan dengan sudut luar tersebut.
Teorema Sudut-Sudut -Sisi :
Jika ada dua sudut dan sebuah sisi berlawanan dengan salah satu sudut dalam sebuah segitiga kongruen dengan dua sudut dan sisi yang berkorespondensi dari segitiga kedua, maka dua segitiga tersebut kongruen.

Diketahui : Δ ABC dan Δ DEF dengan
∠A ≅ ∠D
∠B ≅ ∠E
≅
Buktikan : Δ ABC ≅ Δ DEF
Penyelesaian
Kita akan menggunakan informasi yang telah diberikan untuk
menunjukan bahwa ∠C ≅ ∠F dan kemudian menggunakan postulat ASA.
Pernyataan dan Alasan :
1. ∠A ≅ ∠D, ∠B ≅ ∠E. (Diketahui)
2. m∠A + m∠B + m∠C = 180;
m∠D + m∠E + m∠F = 180.
(Jumlah dari besar ketiga sudut dalam segitiga adalah 180 º)
3. m∠A + m∠B + m∠C = m∠D + m∠E + m∠F. (Subtitusi)
4. m∠C = m∠F. (Substraksi dari property yang sama)
5. ∠C ≅ ∠F. (Definisi dari segitiga kongruen)
6. ≅ . (Mengapa? Karena telah diketahui)
7. Δ ABC ≅ Δ DEF. (Mengapa? Karena berdasarkan postulat AAS)

Teorema Sisi Miring Sudut
Jika sisi miring dan sebuah sudut terkecil dari suatu segitiga siku – siku kongruen dengan sebuah sisi miring dan sudut terkecil dari segitiga siku – siku lainnya, maka segitiga tersebut kongruen.
Teorema
Jika sisi miring dan satu kaki dari sebuah segitiga siku-siku kongruen
dengan sisi miring dan sebuah kaki dari segitiga siku-siku kedua.
Maka, kedua segitiga itu sebangun.
Diketahui : Δ ABC dan Δ DEF , dengan ∠B dan ∠E merupakan sudut siku-siku. ≅ dan ≅
Buktikan : Δ ABC ≅ Δ DEF
Bukti :
Pernyataan Alasan
1. Gambar .
2. Pilih G pada sehingga
≅ .
3. ∠ABC dan ∠DEF adalah sudut siku-siku.
4. ∠GEF adalah sudut siku-siku.
5. ∠ABC = ∠DEF = ∠GEF = 90º.
6. ∠ABC ≅ ∠DEF ≅ ∠GEF.
7. ≅ .
8. Δ ABC ≅ Δ GEF.
9. ≅ .
10. ≅
11. ≅ .

12. ∠FDE ≅ ∠FGE.

13. ≅

14. Δ DEF ≅ Δ GEF.
15. Δ ABC ≅ Δ DEF. 1. Susunan segitiga.
2. Pilihan dari G.
3. Diketahui.
4. Jika satu sudut dari sebuah pasangan ruas garis lurus adalah sudut siku-siku, maka yang lain adalah sudut siku-siku.
5. Definisi sudut siku-siku.

6. Definisi sudut kongruen.
7. Diketahui.
8. Mengapa? Karena postulat SAS
9. CPCTC.
10. Diketahui.
11. Sifat pelengkap dari ruas garis sebangun.

12. Jika segitiga adalah sama kaki, maka sudut-sudut dalam kakinya adalah kongruen.
13. Mengapa? Karena ruas garis tersebut saling berimpit.
14. Teorema AAS.
15. Sifat pelengkap dari segitiga sebangun.

Teorema
Jika sebuah titik P berjarak sama dari pasangan titik A dan B, maka P terletak pada garis bagi yang tegak lurus dari . Sebaliknya, sebuah titik pada garis bagi yang tegak lurus dari adalah berjarak sama dari A dan B.

5.2 Teorema Pythagoras
Salah satu teorema yang paling terkenal dan paling berguna dalam bidang Geometri adalah Teorema Pythagoras. Diberi nama setelah ahli matematika Yunani, Pythagoras.
Teorema ini menyatakan bahwa luas daerah di atas sisi hipotenus dari segitiga siku-siku sama dengan jumlah dari luas daerah di atas kaki-kaki dari segitiga tersebut.

Teorema Pythagoras : Jika Δ ABC adalah segitiga siku-siku, maka kuadrat dari panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat dari panjang kedua sisinya.

Diberikan : Segitiga siku-siku ACB dengan panjang hipotenuse c dan panjang kaki – kakinya a dan b.
Buktikan : c² = a² + b²
Analisis :
Buatlah persegi di atas Δ ABC seperti contoh di atas. Persegi di atas a mempunyai luas a². Persegi di atas b mempunyai luas b². Persegi di atas c mempunyai luas c². Persegi di atas sisi c terdiri dari empat segitiga yang kongruen dengan Δ ABC dan sebuah persegi.
Gambar di atas menunjukan bahwa panjang sisi dari persegi kecil adalah a – b. Kita dapat mengetahui luas persegi besar dengan menambahkan luas dari ke empat segitiga dan luas persegi kecil. Luas segitiga adalah . Luas persegi adalah (a – b)².
Jadi, c² = 4 + (a – b) ² a-b
= 2ab + (a² – 2ab + b²)
= a² + b² c b

Teorema
Jika Δ ABC mempunyai sisi a, b, dan c dan c² = a² + b² , maka Δ ABC adalah segitiga siku-siku.

5.3 Segitiga – Segitiga Istimewa

Gambar dan tabel disebelah kanan menunjukan dimensi dan spesifikasi untuk 2 macam sekrup mesin yang berbeda.
Dimensi yang bertanda F menjelaskan ukuran kunci sekrup yang dibutuhkan untuk sekrup. Bagaimana dimensi G dapat dihitung? Pengetahuan dari sudut-sudut 45º -45º -90º dan 30º -60º -90º dalam segitiga akan membantu perhitungan ini. Sebuah segitiga 45º -45º -90º terbentuk dari 2 sisi dari sebuah persegi dan sebuah diagonal.
Sebuah segitiga 30º -60º -90º terbentuk dari tinggi dan segitiga sama sisi
Teorema
Panjang sisi miring dari segitiga yang mempunyai sudut 45º , 45º, 90º adalah kali panjang kakinya.
Teorema
Panjang dari sisi dari segitiga siku-siku yang lebih panjang dari segitiga
dengan sudut 30º, 60º, 90º adalah kali panjang dari sisi miringnya atau kali panjang sisi yang lebih pendek
Teorema
Panjang sisi miring dari segitiga yang mempunyai sudut 45º , 45º, 90º adalah kali panjang kakinya.

Teorema
Panjang dari sisi dari segitiga siku-siku yang lebih panjang dari segitiga dengan sudut 30º, 60º, 90º adalah kali panjang dari sisi miringnya atau kali panjang sisi yang lebih pendek.

5.4 Teorema Kekonkurenan Dalam Segitiga

Teorema
Garis bagi yang tegak lurus dari sisi sebuah segitiga berpotongan pada titik O yang berjarak sama dari ke tiga titik sudut segitiga.

Diberikan : Δ ABC dengan garis bagi yang tegak lurus dan l”.
Buktikan : dan l” adalah melalui satu titik pada titik O dan bahwa
OA = OB = OC.

C

l” l’

A B

Pernyataan dan Alasan :
1. l adalah garis bagi yang tegak lurus dari . (Diketahui)
2. l’ adalah garis bagi yang tegak lurus dari . (Diketahui)
3. l dan l’ berpotongan pada titik O. (Jika ║ , maka l ║ l’ )
4. OA = OB. (Sebuah titik pada garis bagi yang tegak lurus adalah berjarak sama dari titik akhirnya.)
5. OB = OC.(Mengapa? Karena berdasarkan postulat SAS)
6. OA = O.(Sifat pelengkap dari kesamaan)
7. O adalah pada garis bagi yang tegak lurus dari .
(Sebuah titik berjarak sama dari dua titik adalah terletek pada garis bagi yang tegak urus dari ruas garis yang ditentukan oleh titik tersebut)
8. O terletak pada l, l’, l” dan OA = OB = OC. (Pernyataan 4-8)

Pernyataan dan Alasan :
9. l adalah garis bagi yang tegak lurus dari . (Diketahui)
10. l’ adalah garis bagi yang tegak lurus dari . (Diketahui)
11. l dan l’ berpotongan pada titik O. (Jika ║ , maka l ║ l’ )
12. OA = OB. (Sebuah titik pada garis bagi yang tegak lurus adalah berjarak sama dari titik akhirnya.)
13. OB = OC.(Mengapa? Karena berdasarkan postulat SAS)
14. OA = O.(Sifat pelengkap dari kesamaan)
15. O adalah pada garis bagi yang tegak lurus dari .
(Sebuah titik berjarak sama dari dua titik adalah terletek pada garis bagi yang tegak urus dari ruas garis yang ditentukan oleh titik tersebut)
16. O terletak pada l, l’, l” dan OA = OB = OC. (Pernyataan 4-8)
17. l adalah garis bagi yang tegak lurus dari . (Diketahui)
18. l’ adalah garis bagi yang tegak lurus dari . (Diketahui)
19. l dan l’ berpotongan pada titik O. (Jika ║ , maka l ║ l’ )
20. OA = OB. (Sebuah titik pada garis bagi yang tegak lurus adalah berjarak sama dari titik akhirnya.)
21. OB = OC.(Mengapa? Karena berdasarkan postulat SAS)
22. OA = O.(Sifat pelengkap dari kesamaan)
23. O adalah pada garis bagi yang tegak lurus dari .
(Sebuah titik berjarak sama dari dua titik adalah terletek pada garis bagi yang tegak urus dari ruas garis yang ditentukan oleh titik tersebut)
24. O terletak pada l, l’, l” dan OA = OB = OC. (Pernyataan 4-8)
25. l adalah garis bagi yang tegak lurus dari . (Diketahui)
26. l’ adalah garis bagi yang tegak lurus dari . (Diketahui)
27. l dan l’ berpotongan pada titik O. (Jika ║ , maka l ║ l’ )
28. OA = OB. (Sebuah titik pada garis bagi yang tegak lurus adalah berjarak sama dari titik akhirnya.)
29. OB = OC.(Mengapa? Karena berdasarkan postulat SAS)
30. OA = O.(Sifat pelengkap dari kesamaan)
31. O adalah pada garis bagi yang tegak lurus dari .
(Sebuah titik berjarak sama dari dua titik adalah terletek pada garis bagi yang tegak urus dari ruas garis yang ditentukan oleh titik tersebut)
32. O terletak pada l, l’, l” dan OA = OB = OC. (Pernyataan 4-8)
B
X Y

I
A C
Z

Teorema
Garis bagi sudut dari sudut pada sebuah segitiga adalah melalui satu titik yaitu pada titik I yang berjarak sama dari ke tiga sisi dari segitiga.

Titik yang ditentukan oleh garis bagi yang tegak lurus (Teorema 7-5) dan garis bagi sudut (Teorema 7-6) adalah di tengah lingkaran yang mempunyai hubungan istimewa dengan segitiga.

Lingkaran O memuat tiga titik sudut dari Δ ABC. Lingkaran ini dinamakan lingkaran luar segitiga. Titik tengah adalah titik dari perpotongan garis bagi yang tegak lurus. Jari-jarinya adalah OA. Lingkaran O disebut lingkaran luar segitiga. Lingkaran I menyinggung setiap sisi dari Δ RST secara pasti pada satu titik. Titik tengah adalah titik dari perpotongan garis bagi sudut sebuah segitiga. Jari-jarinya adalah IW. Lingkaran I disebut lingkaran dalam.

Jika kamu menggambar sebuah segitiga dan ke tiga garis tingginya, kamu akan melihat bahwa garis yang berisikan garis tinggi adalah kongkuren (melalui satu titik).
Definisi
Garis tengah dari sebuah segitiga adalah ruas garis yang menghubungkan sebuah titik puncak ke titik tengah dari sisi yang berlawanan.Jika kamu menggambar tiga garis tengah dari sebuah segitiga, kamu akan melihat bahwa ke tiga garis tengah juga kongkuren (melalui satu titik).

A
4 Y
Z 3,5 G 3
6 2 7
B C
X

Bagaimana perbandingan AG dan AX ?
AG : AX = 4 : 6 = 2 : 3
Bagaimana perbandingan BG dan BY ?
BG : BY = 6 : 9 = 2 : 3
Bagaimana perbandingan CG dan CZ ?
CG : CZ = 7 : 10,5 = 2 : 3

Teorema
Garis tengah pada sebuah segitiga berpotongan pada satu titik, sehingga dua per tiga dari masing-masing titik puncak ke sisi yang berlawanan.

7-4 Pertidaksamaan Segitiga
Teorema pertidaksamaan segitiga
Jumlah panjang dari 2 sisi segitiga lebih besar daripada panjang sisi yang ketiga .
Buktikan
Teorema
Jika ukuran dua sudut dalam segitiga tidak sama, maka panjang sisi yang berlawanan dengan sudut yang lebih kecil lebih pendek dari panjang sisi yang berlawanan dengan sudut yang lebih besar.

Diketahui : ABC dengan besar B < besar A
Buktikan : AC < BC

Pernyataan Alasan
1. Besar B < besar A.
2. Ada sebuah titik D pada ruas garis BC sehingga besar BAD = besar B.
3.
4. AD = BD
5. AC < AD + DC
6. AD + DC = BD + DC
7. BD + DC = BC
8. AC < BC 1. Diketahui.
2. Teorema perpanjangan garis ( Protractor ).
3. Bila dua sudut pada segitiga kongruen maka sisi yang berlawanan dengan dua sudut tersebut kongruen.
4. Mengapa?
5. Mengapa?
6. Penambahan bagian-bagian yang sama.
7. Definisi antara titik-titik.
8. Prinsip substitusi.

Teorema
Jika panjang dua sisi dalam sebuah segitiga tidak sama, maka ukuran sudut
yang berlawanan dengan sisi yang lebih pendek lebih kecil dari ukuran sudut
yang berlawanan dengan sisi yang lebih panjang.

C. Latihan
1. Jumlah panjang dari 2 sisi segitiga lebih besar daripada panjang sisi yang ketiga. Buktikan
2. Garis tengah pada suatu segitiga berpotongan pada satu titik, sehingga dua pertiga dari masing-masing titik puncak kesisi yang berlawanan.
3. Lukislah lingkaran luar suatu segitiga ABC.
4. Lukislah lingkaran dalam segitiga ABC

D. Rangkuman

E. Tes Formatif
(Lihat lampiran Kode TF.Bab.6)