BAB 9
LUAS DAN KELILING
A. Kompetensi dan Indikator
A.1 Kompetensi
Memahami keliling dan luas
A.2 Indikator
1. Menjelaskan pengertian keliling bangun datar
2. Membuktikan rumus keliling bangun datar
3. Menjelaskan pengertian luas daerah bangun datar
4. Membuktikan rumus luas daerah bangun datar
B. Materi Pokok dan Uraian Materi
Materi Pokok
Luas dan Keliling
Sub Materi Pokok
1. Postulat luas
2. Luas Jajar Genjang
3. Luas Segitiga dan Trapesium
4. Keliling poligon
5. Keliling segi n
6. Keliling lingkaran
7. Nilai phi
8. Luas lingkaran
Uraian Materi
POSTULAT LUAS
Ketika sebuah rumah dibangun sisi terpaku di tempatnya, kemudian dicat atau diwarnai. Atap seringkali dilapisi dengan lapisan lembaran kayu yang mana harus dilapisi satu demi satu. Konstruksi rumah menggunakan banyak penerapan postulat dan definisi yang diperkenalkan pada bagian ini.
Tepi dari lembaran sisi menggambarkan sebuah segi banyak yang disebut segi empat. Permukaan lembaran ini menggambarkan himpunan bagian dari suatu bidang yang disebut polygonal region (bidang bersegi banyak).
Definisi
Sebuah daerah poligonal adalah himpunan bagian dari sebuah bidang yang dibatasi oleh sebuah poligon.
Postulate Luas
Suatu bilangan positif tertentu disebut luas ditentukan untuk setiap bidang segi banyak. Bidang dari daerah R dinotasikan dengan A (R).
Kelengkapan luas didiskripsikan oleh beberapa postulat.
Dua lembaran yang memiliki ukuran sama,memiliki luas yang sama seharusnya memerlukan jumlah pewarna yang sama, Kenyataan ini adalah persoalan postulat berikut:
Postulate Luas Daerah yang Kongruen.
Jika dua persegi panjang atau dua segitiga adalah kongruen,maka daerah mereka memiliki luas yang sama.
Empat lembaran terpisah dari sisi s1,s2,s3,s4 digabungkan bersama. luas dari 4 bagian ini sama dengan jumlah dari luas masing-masing bagian yaitu
A (4 potongan) = A(S1) + A(S2) + A (S3) + A (S4).
Postulat Penjumlahan Luas
Jika sebuah daerah bidang banyak adalah gabungan dari n daerah bidang banyak yang tidak saling meliputi maka luas ini adalah jumlah dari luas dari n daerah ini.
Postulat Luas Segi empat.
Bidang segi empat dengan panjang l dan lebar w diberikan dengan sebuah rumus l.
LUAS JAJAR GENJANG
Ada situasi yang penting untuk menemukan luas dari daerah yang tidak seperti persegi panjang. Sebagai contoh jika sebuah lahan parker acuannya adalah kemiringan masing-masing tempat adalah sebuah jajar genjang. Jumlah aspal yang diperlukan untuk satu tempat bergantung pada luas daerah jajar genjang itu.
Sebuah unit dari luas harus dipilih ketika mengukur luas daerah seperti salah satu yang digambar diatas.
Definisi
Sebuah satuan kuadrat adalah suatu daerah kuadrat dimana panjang dari sebuah sisi adalah satu satuan panjang.
Luas dari sebuah daerah dapat ditetapkan dengan menghitung jumlah satuan persegi yang mana diperlukan untuk menutupi daerah dengan tepat.
Dengan mencocokkan bersama satuan persegi dan daerah segitiga yang kongruen, dan menggunakan postulat luas pada umumnya,kita menyimpulkan bahwa jajar genjang dibawah ini mempunyai luas 10 cm2 .
Dapat ditulis A(ABCD) = 10 cm2
Satu cara lain untuk menemukan luas dari sebuah jajar genjang adalah membayangkan bahwa bagian segitiga pada satu bagian ujung dipotong dan dipindah ke ujung yang lain untuk membentuk sebuah persegi panjang. Dengan menggunakan postulat luas daerah kongruen dan penjumlahan luas,kita menyimpulkan bahwa bidang dari jajar genjang dan persegi panjang adalah sama. Oleh karena itu, karena luas persegi panjang adalah panjang kali lebar,ini menunjukan bahwa luas jajar genjang juga panjang kali lebar.
Dalam sebuah jajar genjang,kita akan menggunakan istilah ’alas’ dan ”tinggi”menggantikan panjang dan lebar. Sisi lain dari suatu jajar genjang dapat disebut alas. Sesekali kita memilih suatu alas, sebuah bagian garis tegak lurus ke alas itu,dengan titik akhir pada alas dan sisi di hadapnya. Itu adalah tinggi yang kongruen.
Ulasan bahwa jajar genjang memiliki dua pasang alas sejajar.
Definisi
Suatu tinggi dari sebuah jajar genjang adalah suatu bagian tegak lurus ke sepasang sisi sejajar dengan titik akhir di sisi sejajar itu tingginya adalah panjang bagian tegak lurus itu dengan alas.
Teorema
Diberikan sebuah jajar genjang dengan alas b tegak lurus tinggi h. Luas A dirumuskan A=b.h
Luas Segitiga dan Trapesium
Tenaga kerja sipil membutuhkan untuk menemukan luas dari sebuah bentuk tanah yang tidak beraturan pada bagian rumah seperti tanah #6 seperti berikut. Ini dapat dilakukan dengan membagi daerah menjadi daerah-daerah berbentuk segitiga dan menghitung luas dari masing-masing daerah berbentuk segitiga.
Gambar berikut (buku geometry,Stanley R. Clemens,hal.402) menggambarkan bahwa daerah yang berbentuk segitiga mungkin dipikirkan sebagai setengah dari daerah jajar genjang. Oleh karena itu rumus untuk menemukan luas jajar genjang ditunjukan untuk sebuah rumus luas untuk segitiga.
Teorema
Diberikan sebuah segitiga dengan alas b tingginya yang tegak lurus h, luas A dirumuskan A = ½ bh
Kadang-kadang panjang dari ketiga sisi dari sebuah segitiga mugkin diketahui,tetapi tingginya mungkin tidak diketahui. Pada kasus ini sebuah rumus, dinyatakan oleh heron of alexandria pada abad pertama,digunakan.
Teorema
Rumus Herons. Jika segitiga ABC memiliki panjang sisi a,b, dan c maka A (∆ABC) = √s (s-a)(s-b)(s-c) dimana s= ½ (a + b + c)
Sebuah trapesium mungkin juga digambarkan sebagai setengah dari jajar genjang. Luas dari trapesium adalah setengah dari luas jajar genjang itu.
Teorema
Diberikan sebuah trapesium dengan alas b1 dan b2,dan tinggi h, luas A dirumuskan A = ½ h (b1 + b2)
Penerapan :
Sebuah bendungan memiliki sebuah bagian palang berbentuk trapesium. Pendesain dari bendungan harus mengerti luas dari bagian palang berbentuk trapesium. Jika bendungan adalah tinggi 180 m dan alas 10 m dan panjang 60 m, berapa luas dari palang berbentuk trapesium? Dengan menggunakan teorema kita menghitung luas :
Luas = ½.180(10+60) = 6300 m2
Luas poligon beraturan
Nilai dari konstruksi untuk sebuah bangunan dipengaruhi oleh panjang dari dinding luar-keliling bangunan. Sebuah keliling yang besar memerlukan lebih banyak batu bata, kayu, dan material jendela. Sebagai akibatnya, dalam mendesain sebuah bangunan, seorang arsitek mungkin bertanya, “apakah bentuk poligonal beraturan memenuhi sebagian besar luas untuk sebuah keliling diberiakan?”
Disini ada dua definisi dibutuhkan
Definisi
Keliling (p) dari sebuah polygon adalah jumlah dari panjang sisi polygon.
Definisi
Apothem (a) adalah jarak dari titik tengah ke sebuah sisi.
Dua definisi tersebut digunakan untuk membangun sebuah rumus untuk luas dari poligon beraturan dengan n sisi. Tabel yang ditunjukkan membantu menganalisa dua contoh
Luas ∆ ABO keliling (p) luas poligon
8-gon
(octagon)
10-gon
(decagon) ½ as
½ as p = 8s
p = 10s 8 X ½ as = ½ a(8s)
= ½ ap
10 X ½ as = ½ a(10s)
= ½ ap
Teorema
Diberikan sebuah segi-n dengan panjang sisi s dan apothem a, luas A dihitung dengan rumus A = ½ ans = ½ ap, dimana keliling p = ns
Contoh :
Panjang sisi segienam beraturan adalah 4. temukan apothem dan luas dari segienam beraturan.
∆OAB adalah sebuah segitiga 300-600-900. Kemudian AB = 2, OA = 4
a = OB = 2√3
menggunakan teorema , luas = ½ (2√3).6.4 = 24√3
Aplikasi
Jika sebuah bangunan persegi dan sebuah bangunan segienam beraturan memiliki keliling yang sama (p), bagaimana perbandingan luas mereka?
1) SEGI EMPAT
∆OAB adalah sebuah segitiga 450-450-900.
Apothem a = AB
= ½ s = ½ (p/4) = p/8.
Luas persegi = ½. p/8. p.
2) SEGI ENAM
∆OAB adalah sebuah segitiga 300-600-900
Apothem a = √3 AB = √3(½s)
= √3 (½.p/6) = √3p/12
Luas segienam = ½.√3/12.p.p.
Karena √3/2X12>1/2X8, luas dari segienam lebih besar daripada persegi. Oleh karena itu, bangunan segienam memerlukan luas yang lebih besar dengan bangunan segiempat dengan keliling yang sama.
Membandingkan Keliling dan Luas Segi-n Sama
Perbandingan sisi Perbandingan keliling Perbandingan Luas
contoh 1
contoh 2
Kesimpulan
Teorema :
i) Perbandingan keliling dari dua segi banyak yang serupa adalah sama dengan perbandingan panjang dari sisi yang sepasang.
ii) Perbandingan luas dari dua segi banyak yang serupa adalah sama dengan kuadrat perbandingan panjang dari yang sepasang.
Perbandingan Keliling dan Diameter Sebuah Lingkaran
Keliling lingkaran adalah angka yang mendekati keliling segi banyak, karena semakin bertambahnya sisi segi-n.
Jika sisi segi-n semakin bertambah, maka segi-n semakin identik dengan lingkaran. Juga, kelilingnya mendekati angka tetap yang disebut keliling lingkaran dan apotem mendekati radius lingkaran.
Luas sebuah Lingkaran
Luas lingkaran adalah angka yang mendekati luas segi-n karena semakin besar dan besar.Sebuah gambaran polygon biasa dapat dipotong menjadi segitiga, yang dapat disusun kembali menjadi bentuk jajar genjang.
Perkiraannya semakin mendekati ketika banyaknya sisi polygon semakin bertambah.
Luas jajar genjang mendekati
C. Latihan
Lihat lampiran Kode: Lat.Bab 9
D. Rangkuman
E. Tes Formatif
Lihat lampiran Kode TF.Bab 9