BAB 7
SEGI EMPAT DAN SEGI BANYAK
A. Kompetensi dan Indikator
A.1 Kompetensi
1. Memahami segi empat
2. Memahami segi banyak
A.2 Indikator Pencapaian Kompetensi
1. Menjelaskan pengertian segiempat
2. Menjelaskan jenis segiempat
3. Menjelaskan pengertian masing-masing jenis segiempat
4. Membuktikan teorema pada segi empat
5. Menjelaskan pengertian segi banyak
6. Membuktikan teorema pada segi banyak
B. Materi Pokok dan Uraian Materi
Materi Pokok
Segi empat dan segi banyak
Sub Materi Pokok
1. Pengertian segi empat
2. Jenis segi empat
3. Teorema pada segi empat
4. Pengertian segi banyak
5. Teorema pada segi banyak
Uraian Materi
7-1. Segi Empat
Segi empat adalah gabungan dari empat ruas garis yang ditentukan oleh empat titik, tiga titik diantaranya tidak segaris. Ruas garis hanya berpotongan pada titik akhir.
Dunia kita penuh dengan contoh dari bentuk segi empat dengan segala bentuk dan ukuran. Kita dapat menggelompokkan mereka menurut sisi, sudut, dan hubungan antara sisi dan sudut. Pada bagian ini kita akan mempelajari pengelompokan itu dan mempelajari beberapa sifat dari segi empat. Bangun datar berikut ini menytakan beberapa syarat penting untuk segi empat.
Ruas garis BC dan ruas garis AD tidak memiliki titik persekutuan.Mereka adalah sepasang sisi yang sehadap.Ruas garis AB dan ruas garis DC juga sisi yang sehadap. Ruas garis AB dan ruas garis AD mempunyai titik persekutuan. Mereka adalah sepasang sisi yang berdekatan. Pasangan yang lain dari sisi yang berdekatan adalah ruas garis AB dan ruas garis BC, ruas garis BC dan ruas garis CD , ruas garis AD dan ruas garis CD .
Sudut B dan D tidak mempunyai sisi yang berpotongan. Mereka dalah sepasang sudut sehadap. Sudut A dan C juga sudut sehadap. Sudut A dan B mempunyai ruas garis AB sebagai garis persekutuan. Mereka adalah sepasang sudut yang berdekatan.Pasangan lain dari sudut yang berdekatan adalah sudut B dan sudut C dan sudut D,sudut D dan sudut A.
Definisi 7.1
Gbr.1 Menyatakan Trapesium ABCD
Trapesium adalah segi empat dengan sepasang sisi yang sejajar.
Definisi 7.2
Gbr.2 menyatakan jajargenjang
Jajargenjang adalah segi empat dengan dua pasang sisi yang berhadapan sejajar.
Definisi 7.3
Gbr.3 menyatakan persegi panjang
Persegi panjang adalah jajargenjang dengan empat sudut siku-siku.
Definisi 7.4
Gbr.4 menyatakan belah ketupat
Belah ketupat adalah jajargenjang dengan empat sisi yang kongruen.
Definisi 7.5
Gbr.5 menyatakan persegi
Persegi adalah persegi panjang dengan emapt sisi yang kongruen.
7.2 Jajar Genjang
Beberapa teorema pada jajar genjang, dapat dikemukakan sebagai berikut.
Teorem 8.1
Sudut yang berhadapan pada jajargenjang adalah kongruen.
Teorema 8.2
Sisi yang berhadapan pada jajargenjang adalah kongruen.
Contoh:
Diketahui:ABCD adalah jajargenjang,
Buktikan:Sudut A kongruen sudut C,sudut B kongruen sudut D,ruas garis AB kongruen ruas garis CD,dan ruas garis BC kongruen ruas garis AD.
Langkah-langkah:
gambar diagonal BD dan buktikan segitiga ABD kongruen segitiga CDB.
Penyelesaian:
1.ABCD adalah jajargenjang (diketahui)
2.Ruas garis AB sejajar ruas garis CD (definisi dari jajargenjang)
3.Ruas garis BC sejajar ruas garis AD (definisi dari jajargenjang)
4.Sudut 1 kongruen sudut 2 dan sudut 3 kongruen sudut 4 (jika dua garis sejajar dipotong garis transversal maka,sudut dalam berseberangannya kongruen)
5.Ruas garis BD kongruen ruas garis BD (ruas garis yang berhimpit)
6.Segitiga ABD kongruen segitiga CDB (postulat sudut sisi sudut)
7.Ruas garis AB kongruen ruas garis CD (CPCTC)
8.Sudut A kongruen sudut C (CPCTC)
Dengan mengulang cara pembuktian tersebut dengan diagonal AC kita dapat membuktikn bahwa ruas garis AD kongruen ruas garis BC dan sudut B kongruen sudut D.
Teorema 7.3
Setiap pasang sudut yang berdekatan dari jajargenjang adalah sudut berpelurus.
Teorema 7.4
Jika sisi yang berhadapan dari segi empat adalah kongruen maka segiempat itu adalah jajargenjang.
Contoh:
Diketahui : segi empat ABCD dengan ruas garis AD kongruen dengan ruas garis BC dan ruas garis AB kongruen ruas garis CD.
Buktikan : ABCD adalah jajargenjang
Langkah-langkah : gambar ruas garis AC dan buktikan bahwa segitiga AB
kongruen segitiga CDA.
Penyelesaian :
1.Ruas garis AB kongruen ruas garis CD (diketahui)
2.Ruas garis BC kongruen ruas garis DA (diketahui)
3.Ruas garis AC kongruen ruas garis AC (ruas garis yang berhimpit)
4.Segitiga ABC kongruen segitiga CDA (postulat SSS)
5.Sudut 1 kongruen sudut 2 (jika dua garis sejajar dipotong garis transversal,maka sudut dalam berseberangannya kongruen)
6.Ruas garis AB sejajar ruas garis CD (diketahui)
7.Sudut 3 kongruen sudut 4 (CPCTC)
8.Ruas garis AD kongruen ruas garis BC (diketahui)
9.ABCD adalah jajargenjang (definisi dari jajargenjang)
Teorema 7.5
Jika sebuah segi empat memiliki sepasang sisi sehadap adalah sejajar dan kongruen maka itu adalah jajargenjang.
Teorema 7.6
Jika sudut sehadap dari segi empat adalah kongruen maka segi empat tersebut adalah jajargenjang.
7-4. Teorema Garis Tengah
Persoalan.
Tim peneliti perlu untuk menemukan jarak melewati danau yang luas. Tim memilih sembarang tititk dari titik tersebut mereka mengukur ke sisis yang lain dari danau. Mereka menentukan 2 titik yang setengah jalan antara tepi danau dan tititk yang mereka pilih. Jarak antara 2 titik tengah ini akan menjadi satu setengah jarak melewati danau. Teori dari pelajaran ini akan menjelaskan mengapa.
Teorema 7.7
Teorema Ruas Garis Tengah
Sebuah ruas garis gabungan titik tengah dari 2 sisi dari segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan panjangnya setengah dari sisi tersebut.
Diketahui : segitiga ABC dengan x titik tengah AB, y titik tengah AC
Buktikan XY // BC dan XY = ½ BC!
Penjelasan
Gambarlah garis l melewati C dan sejajar AB kemudian perpanjang XY sampai memotong l pada Z, tunjukan bahwa terbentuk dua segitiga kongruen, kemudian tunjukan bahwa BCZX adalah jajar genjang!
Pernyataan dan Alasan
1. X adalah tititk tengah AB, Y adalah tititk tengah AC (diketahui)
2. Garis l digambar melewati C dan sejajar AB dan Xydiperpanjang untuk membentuk segitiga CYZ (dibuat)
3. AY= YC (definisi titik tengah)
4. Sudut 1 ≅ sudut 2 (jika dua garis sejajar maka sudut dalam berseberangannya kongruen)
5. Sudut 3 ≅ sudut 4 (sudut bertolak belakang)
6. ∆AXY ≅ ∆CZY (ASA postulat)
7. XY = ZY (CPCTC)
8. Y titik tengah XZ (definisi titik tengah)
9. XY = ½ XZ (aljabar)
10. CZ = AX (pernyataan 6 dan CPCTC)
11. AX = XB (definisi titik tengah)
12. CZ = XB ; CZ // AB (sifat transitif;pernyataan 2)
13. BCZX adalah jajar genjang (jika segi empat memiliki satu pasang sisi berlawanan yang sejajar dan kongruen maka disebut jajar genjang)
14. XY//BC (DEFINISI JAJAR GENJANG)
15. XZ≅BC (sisi yang berlawanan dari jajar genjang kongruen)
16. XY = ½ BC (substitusi pernyataan 15 pada 9)
7-5. Persegi panjang, belah ketupat dan persegi
Mengulang kembali dari definisi eregi panjang, belah ketupat dan persegi bahwa mereka semua adalah jenis special dari jajar genjang.
Di pelajaran ini, kita akan belajar bagaimana tiga jenis dari jajar genjang itu diteteapkan/itentukan dari diagonalnya.
Jajar genjang itu juga segiempat
Garis AC kongruen dengan garis BD
Teorema 7-8
Jajar genjang adalah segiempat jika dan hanya jika diagonalnya kongruen.
Kita harus membuktikan dua macam
1. jika diagonal dari jajar genjang itu kongruen, maka jajar genjang itu empat perseg panjang.
2. jika jajar genjang itu empat persegi panjang, maka diagonalnya adalah kongruen.
Diketahui : ABCD adalah jajar genjang
Garis AB kongruen dengan garis BD
Buktikan : ABCD adalah empat persegi panjang
Rencana :
Membuktikan bahwa ∆ ABD kongruen dengan ∆ BAC, dan bahwa sudut A dan sudut B kongruen dan berpelurus. Begitupun sudut C dan sudut D.
Diketahui : ABCD adalah empat persegi panjang
Buktikan : garis AC kongruen dengan garis BD
Rencana
Buktikan dulu ∆ ABD kongruen dengan ∆ BAC.
Teorema 7-9
Jajar genjang adalah persegi jika dan hanya jika diagonalnya tegak lurus pada diagonal yang lainnya.
Teorema 7-10
Jajar genjang adalah persegi jika dan hanya jika tiap diagonalnya membagi dua sepasang sudut yang berlawanan.
8-6. Trapesium
Mengulang kembali bahwa trapezium adalah sebuah segiempat dengan tepat satu pasang sisi yang sejajar. Satu contoh bentuk trapezium adalah atap rumah. Pada pelajaran ini, kita akan belajar teorema tentang trapesium yang dapat digunakan dalam penaksiran ongkos gagasan sebuah proyek.
E dan F adalah titik tengah seperti yang ditunjukkan
Amati, bahwa EF = ½ (AB + CD)
Dan garis EF║garis CD║ garis AB
Amati, UV = ½ (WX + YZ)
Dan garis UV ║ garis WX ║ garis YZ
Teorema 7-11
Garis yang menhubungkan titik tengah dari dua sisi yang tidak sejajar pada trapezium adalah sejajar pada dua dasar/ sisi yang lain dan mempunyai panjang yang sama dengan setengah jumlah dari panjang dasarnya.
Definsi 7.6
Trapesium sama kaki adalah trapezium dengan sisi yang tidak sejajar kongruen
Teorema 8-12
Pada sebuah trapesium sama kaki, sudut dasarnya/kakinya kongruen dan diagonalnya kongruen.
7-7 Sudut dari Segi Banyak
Beberapa pertanyaan dapat dikemukakan sebagai berikut:
1. Bagaimanakah menentukan ukuran sudut puncak segi banyak?.
2. Berapa jumlah ukuran sudut dari segi banyak?
Untuk menjawab pertanyaan ini, perlu digambar diagonal dari suatu puncak segi banyak supaya membentuk segitiga.
Dalam setiap permasalahan di atas jumlah ukuran sudut segi banyak merupakan jumlah ukuran sudut segitiga sesuai dengan tabel berikut:
Segi banyak Jumlah sisi Jumlah Segitiga Jumlah Ukuran sudut
Segiempat 4 2 2(180)=360
Segilima 5 3 3(180) = 540
Segienam 6 4 4(180) = 720
: – – –
: – – –
Segi n n n-2 (n-2)180
Dari tabel di atas diperoleh 2 teorema sebagai berikut
Teorema 7-13
Jumlah ukuran sudut dari sebuah segi banyak adalah (n-2)180.
Teorema 7-14
Ukuran sudut dari segi banyak beraturan dengan n sisi adalah (n-2)/n . 180
Teorema 7-15
Jumlah ukuran sudut luar dari sebuah segi banyak yang terletak pada masing-masing puncak adalah 360.
C. Latihan
Buktikan bahwa:
1. Sudut yang “berhadapan” pada jajar genjang kongruen.
2. Sisi-sisi yang “berhadapan” pada jajar genjang kongruen.
3. Jumlah ukuran sudut dari suatu segi banyak adalah (n-2) 180
4. Ukuran sudut dari segi banyak beraturan dengan sisi n adalah (n-2)/n . 180
D. Rangkuman
E. Tes Formatif
1. Jumlah ukuran sudut luar dari sebuah segi banyak yang terletak pada masing- masing puncak adalah 360. Buktikan.
2. Lihat pada lampiran Kode: TF. Bab 7