2. MENYUSUN GAYA
2.1. PENDAHULUAN
Salah satu yang terpenting dalam mempelajari perilaku struktur ialah pengetahuan mengenai hasil interaksi beberapa buah gaya yang bekerja pada suatu benda. Gaya-gaya ini apabila digabungkan (atau diganti dengan sebuah gaya saja) akan mempunyai pengaruh yang sama terhadap benda (tidak mengubah efek yang ditimbulkan pada benda dimana gaya-gaya tersebut bekerja). Sebuah gaya ini disebut (dinamakan) resultan gaya-gaya. Sedangkan gaya-gaya yang diganti ini dinamakan komponen gaya.
Sebuah benda tegar mengalami tiga gaya dengan arah dan besar yang berlainan. Maka gerak benda tersebut tidak berarah ke ketiga-tiganya, tetapi hanya ke satu arah saja. Benda bergerak menurut arah l dengan percepatan a. Maka berarti pengaruh ketiga gaya tersebut sama dengan pengaruh sebuah gaya yang bekerja menurut arah l dengan percepatan a juga.
Umpama gaya tersebut adalah R, maka untuk menentukan R yang mempunyai pengaruh yang sama dengan F1, F2, F3 disebut menyusun gaya. Cara menyusun gaya ada dua, yaitu :
– dengan cara lukisan (grafis)
– dengan cara hitungan (analitis)
2.2. MENYUSUN GAYA DENGAN CARA LUKISAN (GRAFIS)
2.2.1. GAYA-GAYA YANG BERTITIK TANGKAP PADA SATU TITIK (GAYA KONKUREN) :
a. Dua buah gaya dengan arah sembarang atau sejajar :
Tentukan dahulu : – skala gaya (umpama 1 cm # 10 kg)
– skala panjang (umpama 1 cm # 100 cm) untuk menentukan titik tangkap (koordinat)
b. Beberapa (lebih dari dua) gaya dengan arah sembarang :
Lebih dari dua gaya dengan arah sembarang dan menutup :
2.2.2. GAYA-GAYA YANG BERTITIK TANGKAP TIDAK PADA SATU TITIK (GAYA TIDAK KONKUREN) :
a. Dua buah gaya dengan arah sembarang (tidak sejajar) :
– Titik tangkap gaya boleh dipindah ke titik potong kedua garis kerja gaya F1 dan F2 tersebut, yaitu O.
F1 dipindah ke F1’
F2 dipindah ke F2’
– Kedua gaya tersebut diganti dengan suatu gaya (yaitu resultan) yang dapat dinyatakan dengan diagonal jajaran genjang yang terbentuk oleh kedua vektor gaya tersebut dijadikan “Hukum Jajaran Genjang Gaya”.
Panjang vektor R (yaitu berarti besarnya gaya resultan R) sama dengan panjang diagonal dari jajaran genjang dengan sisi-sisi F1’ dan F2’ , yaitu jajaran genjang gaya OF1’RF2’.
b. Beberapa (lebih dari dua) buah gaya dengan arah sembarang (tidak sejajar) :
– analog;
Menyusun F1 dan F2 menjadi R1 dengan terlebih dahulu mencari titik potong garis kerja F1 dan F2.
– Selanjutnya mencari titik potong garis kerja R1 dan F3 untuk melukis garis kerja R dan mendapatkan besarnya R.
Jika gaya-gaya yang disusun terdiri atas gaya-gaya yang sejajar (atau hampir sejajar) maka cara lukisan tersebut akan menimbulkan kesulitan, karena titik potong garis-garis kerjanya terletak diluar kertas (jauh tak terhingga). Sehingga dalam hal ini digunakan lukisan segi banyak batang (poligon batang).
(Dalam mekanika cara ini lebih umum digunakan untuk menyusun gaya-gaya sejajar ataupun dengan arah sembarang).
– Melukis segibanyak gaya F1 , F2 dan F3 secara urut untuk mendapatkan besar dan arahnya R (tetapi garis kerjanya belum didapat).
– Membuat lukisan (gambar) kutub :
– Ambil titik kutub O (sembarang tempatnya).
– Garis penghubung (1,2,3,4) adalah jari-jari kutub.
Terdapatlah segitiga gaya-gaya yang berdampingan (abO, bcO, cdO) yang secara keseluruhan disebut lukisan kutub Oabcd.
– Ambil sebuah titik A yang terletak pada garis kerja gaya F1 sebagai pangkal lukisan. Melalui titik A kita tarik garis I sejajar jari-jari kutub 1 (garis ini dinamakan batang kutub I); juga ditarik batang II sejajar jari-jari kutub 2 yang memotong garis kerja F2 di B, dan seterusnya.
– Akhirnya batang IV memotong batang I di titik S. Titik S inilah yang dicari, yaitu salah satu titik yang terletak pada garis kerja R.
R didapat dengan memindahkan R’ di S.
catatan :
karena letak O dapat dipilih sembarang, maka bentuknya lukisan kutub dapat bermacam-macam tak terhingga banyaknya.
Untuk susunan gaya-gaya dengan arah sembarang yang tidak melalui satu buah titik susunan gaya-gayanya pada segibanyak gaya juga bisa menutup (yang berarti ujung vektor gaya terakhir berimpit dengan pangkal vektor gaya yang pertama) dan jari-jari kutub yang terakhir berimpit dengan jari-jari kutub yang pertama.
Dalam hal ini ada dua kemungkinan :
i). Batang-batang kutub pertama dan terakhir berimpit.
Hal ini berarti gaya-gaya tersebut saling meniadakan, yaitu dalam keadaan setimbang.
ii). Batang-batang kutub pertama dan terakhir tidak berimpit, yaitu membentuk susunan batang yang sejajar.
Hal ini berarti gaya-gaya tersebut tidak saling meniadakan, tetapi membentuk sebuah pasangan (kopel).
Keterangan :
Kedua gambar diatas sama arah-arah masing-masing komponen gayanya, tetapi garis kerja F4 berlainan dan sejajar.
2.3. MENYUSUN GAYA DENGAN CARA ANALITIS (HITUNGAN)
2.3.1. GAYA-GAYA YANG BERTITIK TANGKAP PADA SATU TITIK (GAYA KONKUREN) :
– Semua gaya-gaya diuraikan ke sumbu X dan Y yang saling tegak lurus.
Uraian gaya-gaya terhadap sumbu X (mendatar) :
F1x = F1 * cos α1
F2x = F2 * cos α2
Uraian gaya-gaya terhadap sumbu Y (vertikal) :
F1y = F1 * sin α1
F2y = F2 * sin α2
– Besarnya resultan :
Rx = F1x + F2x
Ry = F1y + F2y
R =
Arah resultan : tg α =
Apabila komponen gaya lebih dari dua :
Rx = ∑ Fx = ∑ Fi * cos αi = F1 * cos α1 + F2 * cos α2 + F3 * cos α3 + …
Ry = ∑ Fy = ∑ Fi * sin αi = F1 * sin α1 + F2 * sin α2 + F3 * sin α3 + …
catatan :
α diukur dari sumbu X+ dengan arah berlawanan putaran jarum jam
2.3.2. GAYA-GAYA YANG BERTITIK TANGKAP TIDAK PADA SATU TITIK (GAYA TIDAK KONKUREN) :
– F1 diuraikan menjadi :
F1 * cos α1 → sejajar sumbu X
F1 * sin α1 → sejajar sumbu Y
– F1 digeser sehingga bertitik tangkap di O; didapat :
F1 * cos α1 (pada sumbu X) dan momen M = F1 * cos α1 * y1
F1 * sin α1 (pada sumbu Y) dan momen M = F1 * sin α1 * x1
– analog untuk F2 , F3 , …
– Gaya-gaya tersusun :
Pada sumbu X : Rx’ = ∑ Fx
= ∑ Fi * cos αi = F1 * cos α1 + F2 * cos α2 + …
Pada sumbu Y : Ry’ = ∑ Fy
= ∑ Fi * sin αi = F1 * sin α1 + F2 * sin α2 + …
R’ =
Arah resultan : tg αR’ =
R’ adalah resultan gaya-gaya di sumbu X dan Y.
– Momen-momen tersusun :
MR = (F1 * cos α1 * y1 + F1 * sin α1 * x1) +
(F2 * cos α2 * y2 + F2 * sin α2 * x2) + …
R = R’ = R’’
αR = αR’
d =
Gaya-gaya sejajar :
R = F1 + F2 – F3 + F4
Ambil titik O yang letaknya sembarang untuk pangkal perhitungan momen.
R * d = F1 * d1 + F2 * d2 – F3 * d3 + F4 * d4
Sehingga :
d = (F1 * d1 + F2 * d2 – F3 * d3 + F4 * d4) / R
d = (F1 * d1 + F2 * d2 – F3 * d3 + F4 * d4) / (F1 + F2 – F3 + F4)
Rumus umum :
d =
Contoh soal :
1. Hitunglah besar dan orientasi resultan dari sistem gaya konkuren dibawah ini :
Penyelesaian :
Rx = ∑ Fx = ∑ Fi * cos αi = 1000 * cos 60o + 600 * cos 135o + 700 * cos 330o
= 1000 * 0,5 + 600 * (- 0,7071) + 700 * 0,8660
= 681,94 kg
Ry = ∑ Fy = ∑ Fi * sin αi = 1000 * sin 60o + 600 * sin 135o + 700 * sin 330o
= 1000 * 0,8660 + 600 * 0,7071 + 700 * (- 0,5)
= 940,26 kg
R =
=
= 1161,521 kg
tg α =
=
= 1,3788
αR = arc tg 1,3788
= 54,05o → arah resultan
2. Hitunglah besar dan orientasi resultan dari sistem gaya tak konkuren dibawah ini :
Penyelesaian :
Gaya-gaya tersusun pada sumbu X dan Y :
Rx’ = ∑ Fx = ∑ Fi * cos αi = F1 * cos α1 + F2 * cos α2 + F3 * cos α3
= 10 * cos 0o + 10 * cos 270o + 11,18 * cos 296,57o
= 10 * 1 + 10 * 0 + 11,18 * 0,447
= 15 kN
Ry’ = ∑ Fy = ∑ Fi * sin αi = F1 * sin α1 + F2 * sin α2 + F3 * sin α3
= 10 * sin 0o + 10 * sin 270o + 11,18 * sin 296,57o
= 10 * 0 + 10 * (- 1) + 11,18 * (- 0,894)
= – 20 kN
Momen-momen tersusun terhadap pusat 0 :
MR = (F1 * cos α1 * y1 + F2 * cos α2 * y2 + F3 * cos α3 * y3) +
(F1 * sin α1 * x1 + F2 * sin α2 * x2+ F3 * sin α3 * x3)
= (10 * 2 + 0 * 0 + 5 * 4) + (0 * 0 + 10 * 2 + 10 * 4)
= 100 kN*cm
R’ =
=
= 25 kN
tg αR’ =
=
= – 1,333
αR’ = arc tg (- 1,333)
= 306,88o → arah resultan
d =
=
= 4 cm
R = R’ = R’’
Karena R’ dan R’’ saling meniadakan maka yang ada tinggal R saja. R inilah resultan gaya-gaya yang sesungguhnya.