BAB II
GEOMETRI DAN OBYEK GEOMETRI
A. Kompetensi dan Indikator
A.1 Kompetensi
1. Memehami pengertian matematika
2. Memahami ciri-ciri pokok matematika
3. Memahami pengertian geometri
4. Memahami obyek-obyek geometri
5. Memahami hubungan antara obyek geometri
A.2 Indikator Pencapaian Kompetensi
1. Menjelaskan pengertian matematika
2. Menjelaskan ciri-ciri pokok matematika
3. Menjelaskan pengertian geometri
4. Menjelaskan titik, garis, ruas garis, bidang, dan ruang
5. Menjelaskan hubungan antara titik, garis, dan bidang
6. Menjelaskan pengertian beberapa bangun geometri
B. Materi Pokok dan Uraian Materi
Materi Pokok
Geometri dan obyek geometri di ruang berdimensi satu dan dua
Sub Materi Pokok
1. Matematika dan ciri-ciri pokok matematika
2. Pengertian geometri dan obyek geometri
3. Pengertian Titik, Garis, Ruas garis, Bidang, Ruang
4. Hubungan titik, garis, dan bidang
5 Pengertian sudut
6. Beberapa bangun geometri dasar
Geometry With Applications and Problem Solving Stanley R. Clemens, Phares G. O’Daffer and Thomas J. Cooney
Uraian Materi
B.1 Matematika dan Ciri Pokok Matematika
Pada hakekatnya, matematika merupakan sistem aksomatis deduktif formal. Sebagai sistem aksiomatis, matematika memuat komponen-komponen dan aturan komposisi/ pengerjaan yang dapat menjalin hubungan secara funsional antar komponen. Komponen-komponen dalam sistem matematika dapat dikelompokkan menjadi 2 (dua), yakni kelompok pernyataan dan kelompok pengertian. Di dalam kelompok pernyataan terdapat pernyataan pangkal yang disebut aksioma, Aksioma ini merupakan landasan berpikir matematik. Berdasarkan alasan inilah, matematika merupakan sistem aksiomatik. Herman Hudoyo (1988 : 78) mengemukakan bahwa ” aksioma-aksioma yang digunakan untuk menyusun sistem matematika akan menentukan bentuk sistem matematika itu sendiri.
Matematika sebagai sistem yang deduktif formal, mengandung arti bahwa matematika harus dikembangkan berdasarkan atas pola berpikir/ penalaran deduktif dan setiap prinsip, teorema, sifat, dall dalam matematika harus dibuktikan kebenarannya secara formal berdasarkan kebenaran konsistensi. Jika pernyataan-pernyataan itu telah dibuktikan kebenarannya, maka pernyataan tersebut dapat diterima sebagai komponen sistem matematika. Walaupun kita ketahui bahwa tidak semua prinsip dalam matematika dibentuk atau ditemukan melalui pola pikir deduktif tetapi terdapat prinsip dalam matematika diperoleh melalui pola pikir induktif – empiris. Namun semua prinsip dalam matematika, harus dibuktikan dengan menggunakan penalaran deduktif.
Banyak definisi tentang matematika. Disatu pihak berpendapat bahwa matematika adalah ” ilmu tentang bilangan”, di pihak lain berpendapat bahwa matematika adalah ” ilmu tentang bangun-bangun abstrak”. H.W Fowler berpendapat bahwa ” mathematics is the abstract science of space and number”, Marshaal Walker berpendapat bahwa “ mathematics may be defined as the study of abstract structures and their interrelations”. Dienes dalam Herman Hudoyo (1981 : 144) memandang matematika sebagai studi tentang struktur, pengklasifikasian struktur dang pengkatagorissian hubungan-hubungan di antara struktur.
Berdasarkan definisi-definisi yang diajukan oleh para ahli, dapat ditarik beberapa hal pokok atau ciri pokok yang sama (ciri pokok) matematika. Ciri pokok matematika adalah (1) matematika memiliki obyek kajian abstrak, (2) matematika mendasarkan diri pada kesepakatan, (3) matematika sepenuhnya menggunakan pola pikir deduktif, (4) matematika dijiwai dengan kebenaran konsisten (Soedjadi, 1994 : 1)
B.2 Pengertian Geometri dan Obyek Geometri
Istilah ”geometri” berasal dari bahasa Yunani yang berarti ”ukuran bumi”, maksudnya mencakup segala sesuatu yang ada di bumi. Geometri kuno sebagian besar dimulai dari kegiatan praktis bersifat empiris, berupa pengukuran untuk keperluan pertanian pada orangorang Babylonia dan Mesir. Kemudian berkembang menjadi kegiatan utk perhitungan panjang ruas garis, luas dan volum. Obyek-obyek geometri berupa obyek-obyek pikiran yang abstrak. Pengertian pangkal dalam geometri adalah titik, sedangkan pengertian-pengertian lainnya dalam geometri dapat dikembangkan dari titik.
Obyek-obyek geometri merupakan bagian dari obyek matematika. Obyek-obyek geometri antara lain titik, garis, sinar garis, ruas garis, sudut, segitiga, jajar-genjang, lingkaran, elllip, parabola, kubus, limas, tabung, bola, elipsoida, hiperboloida, hiper paraboloida, dan masih banyak obyek geometri yang lain. Obyek-obyek geometri di ruang berdimensi satu (R), adalah objek-objek geometri yang terletak garis bilangan antara lain dapat berupa titik, ruas garis, sinar garis, dan himpunan titik seperti sinar garis namun tanpa titik akhir, selanjutnya objek geometri ini, kita sebut dengan ”sinar garis tanpa titik akhir/titikpangkal”
Seperti halnya, cabang matematika lainnya, geometri merupakan sistem aksiomatik-deduktif yang sangat ketat, dan mengalami perkembangan yang sangat pesat. Namun untuk keperluan pembelajaran, geometri dapat diajarkan dengan pendekatan kontekstual, pendekatan empiris – induktif, dan pendekatan informal. Pada jenjang pendidikan yang lebih tinggi, perlu dilakukan pendekatan deduktif aksiomatis untuk membuktikan dalil-dalil geometri sehingga dapat mempertajam penalaran deduktif. Disamping geometri Euclides, berkembang pula geometri elliptik, geometri hiperbolik, geometri fraktal, dan mungkin masih ada geometri lain yang akan/sedang dikembangkan. Pada perkuliahan ini, pembahasan lebih tertuju pada Geometri Euclides pada ruang dimensi satu, dimensi dua saja.
B.3 Titik, Garis, Bidang Datar, dan Ruang
1. Titik
Titik adalah bagian terkecil dari suatu objek geometri, yang menempati suatu tempat, yang tidak memiliki panjang, lebar, dan tinggi. Titik adalah suatu idea, benda pikiran yang bersifat abstrak. Dikarenakan titik tidak bisa dijelaskan dengan cara biasa, Titik termasuk sesuatu yang tak terdefinisi.
2. Garis
Sebuah garis adalah bagian dari suatu yang bersifat fisik. Sebuah garis adalah kumpulan titik-titik yang dapat kamu gambar. Panjangnya tak terbatas, lurus, tidak mempunyai ketebalan, dan tidak mempunyai ujung.
Garis adalah suatu idea atau objek pikiran yang abstrak. Dikarenakan titik tidak bisa dijelaskan dengan cara biasa, Garis termasuk sesuatu yang tak terdefinisi.
3. Bidang
Bidang adalah himpuanan garis yang memenuhi syarat-syrat tertentu. Sebuah bidang datar dapat dibayangkan seperti irisan tertipis yang dapat kamu potong. Tak terbatas, terus-menerus dalam semua arah, tidak memiliki ketebalan. Bidang adalah suatu idea atau benda pikiran yang bersifat abstrak. Dikarenakan titik tidak bisa dijelaskan dengan cara biasa, Bidang termasuk sesuatu yang tak terdefinisi.
4. Ruang
Ruang adalah gabungan dari semua titik. Tak mempunyai batas, panjang, lebar, dan tinggi. Ruang dapat dibayangkan seperti udara yang terletak diluar dan di dalam balon. Ruang adalah himpunan titik-titik di ruang berdimensi tiga.. Ruang adalah suatu idea atau benda pikiran yang bersifat abstrak. Dikarenakan titik tidak bisa dijelaskan dengan cara biasa, Ruang termasuk sesuatu yang tak terdefinisi.
1-2 Hubungan Antara Titik, Garis, dan Bidang.
Kita dapat menggambar titik di kertas berupa noktah. Huruf kapital di samping noktah tersebut memberi nama titik tersebut. Kita sebut, misalnya titik A, titik B, dan titik C.
.A .B .C
Kita dapat memikirkan garis sebagai kumpulan titik-titik. Dengan memberi sepasang titik yang diberi nama, kita dapat menamai garis diantara dua titik tersebut. Contoh, titik A dan B ada pada garis, maka kita menyebutnya garis AB. Yang kita asumsikan hanya garis di antara A dan B. Dengan kata lain, dua titik memberi sebuah garis. Kadang, sebuah garis dinamai dengan satu huruf kecil. Ini adalah garis AB yang juga disebut garis l.
Sebuah bidang juga dapat dipikirkan sebagai kumpulan titik-titik. Sebuah bidang dinamai dengan meletakkan satu huruf pada bidang atau menamai dengan nama tiga titik tak segaris yang membentuk bidang. Kita mengatakan bidang N atau bidang ABC.
Kita mengasumsikan hanya satu bidang mengandung tiga titik. Kita mengatakan bahwa tiga titik tak segaris yang membentuk tepat satu bidang. Ketika memikirkan garis l sebagai kumpulan titik, kita dapat mengatakan titik A ada pada garis l dan titik A adalah elemen garis l untuk mendeskripsikan situasi yang sama. Kita juga dapat mengatakan garis l mengandung titik A.
Jika A, B, dan C adalah titik pada garis l, seperti pada gambar, kita mengatakan B di antara A dan C. Jika A, B, dan C tidak segaris, kita tak dapat menggunakan antara untuk menggambarkan hubungan mereka. Beberapa hubungan dasar untuk titik dan garis dalam bidang digambarkan menggunakan model, simbol, dan definisi. (lihat gambar)
A, B, dan C adalah kolinier. A, D, dan C adalah nonkolinier. A, B, C, dan D ada pada bidang yang sama. Mereka adalah titik koplanar. Titik-titik yang tidak pada bidang yang sama adalah titik nonkoplanar.
Definisi 1-2
Titik kolinier adalah titik-titik yang terletak pada satu garis.
Definisi 1-3
Titik koplanar adalah titik-titik yang terletak pada bidang yang sama.
Garis l dan m berpotongan pada titik A.
Definisi 1-4
Garis-garis berpotongan ialah dua garis yang berpotongan pada satu titik.
Garis l dan m tidak mempunyai titik persekutuan. Dikatakan l sejajar dengan m.
Definisi 1-5
Garis-garis sejajar adalah garis-garis sebidang yang tidak mempunyai titik persekutuan.
Garis p, q, dan r mempunyai satu titik persekutuan. Ketiga garis tersebut adalah garis-garis konkuren.
Definisi 1-6
Garis-garis konkuren adalah tiga atau lebih garis koplanar yang mempunyai satu titik persekutuan.
1 – 3. Beberapa Bangun Datar
Garis, bidang, dan ruang adalah himpunan dari titik-titik. Dengan pengertian ini kita dapat memberi batasan bangun geometri dalam batasan himpunan dan titik.
Sebuah bangun datar adalah bangun dengan himpunan titik-titik pada sebuah bidang, tapi tidak semuanya hanya pada satu garis. Sedangkan bangun ruang adalah bangun geometri yang memiliki titik-titik yang tidak hanya pada satu bidang.
Beberapa bangun geometri dasar digambarkan dengan model, simbol, dan definisi.
1.Segmen (bagian) / ruas garis
A dan B adalah titik akhir. Ditulis: AB
Segmen AB adalah himpunan titik-titik A dan B dan semua titik-titik diantara A dan B.
2. Ray (sinar)
A adalah titik akhir. Ditulis: AB
Sinar AB adalah himpunan bagian dari garis termasuk titik A dan semua titik di sisi/ di pihak yang sama.
3. Sudut
Sudut adalah gabungan dari 2 sinar yang tidak segaris tapi memiliki titik akhir sama.
B adalah tititik sudut. BA dan BC adalah sisi-sisinya.
4. Segitiga : gabungan dari tiga segmen/ruas garis yang titik-titiknya tidak kolinier
A, B, dan C adalah titik sudut
AB, BC, dan AC adalah sisi-sisinya
Ditulis: ∆ ABC
5. Segi empat
Segi empat adalah gabungan 4 ruas garis ditentukan oleh 4 titik tidak segaris. Ruas garisnya berpotongan di titik-titik sudut.
A, B, C, dan D adalah titik sudut.
AB, BC, CD, dan AD adalah sisi-sisinya.
Ditulis: Segiempat ABCD
6. Lingkaran
Lingkaran adalah himpunan titik-titik pada sebuah bidang yang memiliki jarak yang sama ke titik pusat pada bidang. Titik O adalah pusat lingkaran.
AB merupakan diameter lingkaran. OB adalah jari-jari
1-4 Ruas Garis dan Sudut Yang Kongruen
Ukuran panjang menunjukkan bilangan real untuk setiap ruas garis.
Definisi
Dua ruas garis adalah kongruen jika mereka memiliki panjang yang sama.
Panjang AB adalah 3.5 cm. Kita tulis : AB = 3.5
Kita punya cara spesial untuk menggambarkan dua segment yang memiliki panjang yang sama. Kita sebut : Ruas garis AB kongruen terhadap ruas garis CD.
Kita tulis : AB≅CD.
Kita kadang-kadang menandai tiap ruas garis untuk menunjukkan bahwa mereka kongruen.
Ukuran sudut menunjukkan bilangan real antara 0 sampai 180 untuk tiap sudut.
Ukuran derajat ∠ABC adalah 40
Kita tulis : m∠ABC = 40
Kita kadang menulis ∠ABC memiliki ukuran 400
Definisi
Dua sudut adalah kongruen jika mereka memiliki ukuran yang sama.
Kita punya cara spesial untuk menggambarkan dua sudut yang memiliki ukuran yang sama.
Kita sebut : ∠ABC kongruen dengan ∠DEF.
Kita tulis : ∠ABC ≅ ∠D
Definisi
Bisector ABC adalah sinar BD yang terletak di “dalam” ABC sehingga ABC DBC.
Sinar BD adalah bisector ABC. Titik di sinar BD sama dengan jarak dari semua titik di ABC .
Definisi
Titik tengah ruas garis adalah titik C diantara A dan B sehingga ruas garis AC ruas garis CB
Titik C adalah titik tengah ruas garis AB.
Definisi
Bisector dari ruas garis adalah tiap titik, ruas garis, sinar, garis atau bidang yang bertemu di titik tengah dari suatu bidang.
Ruas garis RS, sinar MT, garis l dan bidang N semua memotong ruas garis PQ di titik tengah M dan merupakan bisector ruas garis PQ.
1-5 Garis Tegak Lurus
Definisi
Dua garis dikatakan tegak lurus jika kedua garis itu berpotongan dengan membentuk sudut-sudut yang kongruen.
Dari dasar pernyataan sederhana di atas yang dapat kita buktikan, kita akan menginterpretasikan definisi tegak lurus :
1. Saat dua garis saling tegak lurus, semua sudut yang terbentuk 90o (sudut siku-siku) dan kongruen.
2. Saat dua garis berpotongan membentuk satu, dua,atau tiga 90o (sudut siku-siku), garis garis itu membentuk empat sudut siku-siku yang saling tegak lurus.
3. Saat dua garis berpotongan membentuk sepasang sudut yang kongruen, maka garis-garis itu saling tegak lurus.
1-6 Poligon (Segi Banyak)
Definisi
Poligon adalah gabungan ruas garis dari bagian yang bertemu hanya di titik akhir sehingga (1) dua ruas garis bertemu di satu titik, dan (2) Tiap ruas garis bertemu tepat dua ruas garis lainnya.
Poligon dinamai dengan memakai jumlah dari sisinya. Contoh segitiga-3 sisi, segiempat-4 sisi, segilima-5 sisi, segienam-6 sisi, segitujuh-7 sisi, segidelapan-8 sisi,. Sebuah polygon dengan sisi n dapat disebut segi-n.
Definisi
Diagonal dari poligon adalah ruas garis yang menghubungkan antara dua titik yang saling ”berhadapan” dari segi banyak tersebut.
Definisi
Segitiga sama sisi adalah segitiga dengan semua sisi yang kongruen satu sama lain.
Pada segitiga ABC, ruas garis AB ruas garis BC ruas garis AC
Definisi
Segitiga sama kaki adalah segitiga dengan dua sisi yang kongruensatu sama lain.
Definisi
Segi banyak beraturan adalah segi banyak (poligon) dengan semua sisi yang kongruen satu sama lain dan semua sudut yang kongruen satu sama lain.
B. Latihan
Untuk memudahkan pemahaman tentang geometri analitik di R, dapat dipelajari/dikerjakan latihan-latihan yang terdapat pada buku ” Geometry With Applications and Problem Solving”, by Stanley R. Clemens, Phares G. O’Daffer and Thomas J. Cooney
(lihat lampiran Kode: LAT.BAB.1)
C. Rangkuman
Geometri merupakan salah satu cabang dari matematika.
1) Matematika sebagai sistem aksiomatik deduktif formal
2) Obyek matematika merupakan obyek pikiran yang abstrak.
3) Obyek geometri merupakan bagian dari obyek matematika.
4) Pengertian dalam geometri meliputi pengertian yang tidak didefinisikan dan pengertian yang dapat didefinisikan
5) Obyek geometri merupakan himpunan titik
6) Tes Formatif
(lihat lampiran- Kode TF-Bab.1)